かわいい名前ですね！
確かに漢字はつぐみちゃんとは読めないかな？と思いますが、最近は難読名も多いですし、少し読みにくいくらいなら問題ないかなと個人的には思います。
ご両親とも難読名であってもそれほどご苦労がないようですし。