朝来（あさき）は、ぱっと見で名前の意味が伝わるし、響きも素敵だと思いました
地名と同じなのは、気にされなくてもいいのでは？と思います。私は朝来市を知らなかったのでそう思うのかもしれないですが

もうひとつの試（こころ）は、なかなか読めないと思いますね。。。
試は、「試験（しけん）」、「試（ため）す」の方がよく使うから、こころはパッと出てこないと思います

名前で不便な思いをさせたくないなら辞めた方がいいかもしれませんが、読みにくいと言う部分を除けば、響きも意味も素敵だなと思います

幼稚園とかの名前表記はひらがなだし、漢字はあとからついてくるものなので、さほど不便ではないかもしれませんね
私だったら「こころ」の漢字が「試」だと知ったら、変と思うより感心します