「子」という漢字を使っているだけで、古いと思われがちですが、いろいろ意味もしっかり考えて菜都子（なつこ）Ⓒという名前を付けているなら、私はいいと思います。名前はなつこⒸでもあだ名として、「なつ」と呼んでみるのもいいと思います。