名前の流れとしては、みらい、つづく、の方がしっくりきますが、単体で見ると、つづく君よりつづき君の方が名前らしいかなと思いました。

漢字はつづき君なら〇月君の方が読みやすそうです。
〇希君だと〇に入る漢字は綴、鼓とかしか浮かばないですね。

繋月君は意味的に合ってますが少し難読かなーと思いました。

「つ」に当てはまる漢字はあまりないですが、都月、津月なら無理なく読めそうです。

受け継ぐという意味がある継月君も良いかなと思いましたが、継は「血縁ではない」という意味もあるからいまいちですかね。