全然古くないかと。ただ昔からいる名前ではあるのでそれを古いとおっしゃってるのかもしれませんね。

イメージとしては30-40代以下くらいでしょうか。←これを古いというなら古いのかもしれませんが...
逆にそれより上の世代は「リカ」さんが多いイメージです。

めっちゃ偏見ですが私的な感覚
リで始まる２文字の名前
30-50代 リカ
30-40代 リサ・リエ
30代　　リナ・リホ
20-30代 リオ・リツ
10-20代 リコ
10代↓　リリ

全然今の子供にもいる名前なんであくまで「登場」したのが、多かったのがってだけで古いとかはないかと。
ただ新しいはあるかも？リリなんて昔はいなかったし。
リエとかは上にも下にももう少し幅広く居そうではある。